一、概率的边际效用递减
虽然经济学中，对不确定选择存在着前景理论、期望效用等各种理论解释，但是这些理论有如下共识，即下面的表述是等价的：
（1）决策者是风险厌恶的；
（2）货币的边际效用是递减的，即效用是货币的凹函数，用m, n分别表示不同的货币收益，则
aU（m）+（1-a）U（n）＜U（am+（1-a）n）
事实上这两种表达要等效，还存在着一个隐含条件，就是概率的边际效用是不变的，即概率同效用之间是线性关系。
让笔者不能理解的是，众多学者将风险爱好归结于决策者的货币边际效用递增。须知，经济学最基本的假设公理就是，一切商品的边际效用是递减的，货币又怎么能违反这一公理性假设？或许，将货币的边际效用假定为递增，只是因为在假定概率同效用成线性关系后，这是唯一的解释。
因此，笔者放弃了在货币收益不变时，概率的边际效用不变这一假设，而将货币的边际效用总是递减作为公理性假设，做出了如下推导。
若个人只面对概率为p、收益为i的一项彩票选择，此时初始的效用为u（p, i），现在给他的彩票增加一个极微小的期望值dE，这一期望值的增加，可以通过两种方式实现：
（1）将其增加在概率上，保持货币收益不变，即获奖概率增加为p+dp，显然dE=dp×i。那么此时增加的效用为
du（1）=（∂u/∂p）×dp
（2）将其只增加在货币收益上，保持原有概率不变，即彩票变为
（p, i+di）
增加后为
p×（i+di）=（p+dp）×i
所以di=dp×i/p，即其货币收益增加了dp×i/p，增加效用为：
du（2）=（∂u/∂i）（dp×i/P）
如果决策者表现出风险偏好，那么显然此时他认为方案2增加的效用du（2）大于方案1的du（1）:
（∂u/∂i）（dp×i/P）＞（∂u/∂p）×dp
化简可得
（∂u/∂i）（i/P）＞∂u/∂p
由于货币边际效用递减，是一个凹函数，有下式成立：
（∂u/∂i）（i/P）＜×（i/p）=u（p, i）/p
得出
u（p, i）/p＞∂u/∂p
即概率同总效用是凹函数关系，其边际效用递减，其二阶偏导数小于0。说明在保持货币收益不变的情况下，随着概率的增加，每增加一个边际单位的概率，带给决策者的心理满足程度越来越小。在货币的边际效用递减的情况下，风险爱好是由于货币的边际效用递减造成的。
以上推导仅仅是理论上的，能不能得到实际事实的证实呢？埃尔斯伯格悖论就是一个很好的实证。
1961年埃尔斯伯格（Daniel Ellsberg）进行了如下实验。
一个罐中有90个球，已知其中有30个红球，其余的60个要么是黑球，要么是黄球。现从中随机抽取一个，并设计四个赌局如下：
赌局A：若是红球，参赌人得到100元；若是其他颜色得到0元。
赌局B：若是黑球，参赌人得到100元；若是其他颜色得到0元。
赌局C：若是黑球，参赌人得到0元；若是其他颜色得到100元。
赌局D：若是红球，参赌人得到0元；若是其他颜色得到100元。
实验调查结果发现多数人在A、B之间选择A而非B；在C、D之间选择D而非C。
主观概率理论认为从A优于B，能够推出个人认为抽出黑球的概率小于红球，从D优于C能够推出个人认为抽出黑球的概率大于红球，于是出现了悖论。
但是笔者认为这一悖论的产生，是由于研究人员的惯性思维，即他们潜意识地认为参赌人对于各种颜色球的概率的判断是一个确定性的值！但实际上如果假设参赌人并不认为赌局A优于B是由于决策者认为抽中红球的概率（1/3）大于黑球，同理赌局C优于赌局D也不是由于抽中红球概率小于黑球，那么从另一个角度就可以解释这一悖论。
笔者认为对于个人而言，他们认为抽中红球的概率为1/3，而抽中黑球的概率也是1/3，但这一概率并不是确定的，我们可以假定决策者认为抽中黑球的概率是以1/3为中心波动的一个不确定值1/3+ε，故：
A的效用可以表示为u（1/3,100），但B发生的概率并不能确定，在一定范围内，可表示为1/3+ε, ε为一个不确定的微小偏差，B的效用可以表示为u（1/3+ε,100）, A优于B表示为u（1/3,100）＞u（1/3+ε,100）。D优于C表示为u（2/3,100）＞u（2/3+ε,100），这两种选择之间并没有矛盾，或者说这一事实证明了效用是概率的凹函数，其边际效用递减。
