直方图匹配的数学原理 1.绪论：
直方图匹配的数学原理，与直方图均衡化有密切的联系，建议看明白直方图均衡化（参考博主的另一篇博客直方图均衡化的数学原理），再看直方图匹配，文中图像截取自数字图像处理-冈萨雷斯-第三版，该书翻译一般，可以中英文对照。
注意：仔细耐心的看完，一定会明白其中的原理。
2.变量符号说明：
s=T(r)，r为输入灰度级，s为输出灰度级，T为灰度变换函数（直方图处理也是灰度变换），ps(s)为s的概率密度函数，pr(r)为r的概率密度函数。
3.直方图均衡化的灰度转化函数的推导：
现在我们考虑直方图均衡化要做什么，要达到什么目的。即：完成下面的转化，从a->b（下面的图）。输入灰度级0≤r≦L-1，输出灰度级0≤s≦L-1，L为2的幂，8比特灰度级L=256。我们要求s的概率密度函数所围成的面积为1，所以ps(s)（s的概率密度函数ps，下角标打不了）应该=1/L-1。
现在已知ps(s)=1/L-1，我们想要求出灰度变换函数T，需要寻求一个关系。r,s都是随机变量，且s=T(r)，那么s的概率密度函数与r的概率密度函数有什么关系呢？也就是如何求一个随机变量函数的概率密度函数。
这里我们知道了：
，公式推导得到s与r的关系，即知道了直方图均衡化的灰度变换函数T。
4.直方图匹配的核心思想：
直方图匹配要求实现：输出的图像具有规定的直方图的形状。
一般情况的灰度变换，只需要一次映射：r->s，例如直方图均衡化。而直方图匹配，需要两次映射，r->s->z。这里的z是什么，看完本文就能知道。
直方图均衡化的T是什么呢？由上面我们知道，是r的累积分布函数×系数L-1(CDF，补充：概率密度函数是PDF)。一个随机变量r，通过累积分布函数所求得的是什么？也是随机变量，记为m（随机变量r的累积分布函数也是一个随机变量）。那么m的概率密度函数是什么呢？答案是常数1（与上面的公式推导一样，从后到前的过程，唯一的区别是系数）。也就是说m与r的PDF的形式无关。s=(L-1)*m，所以，s与r的PDF的形式无关。
s与r的PDF的形式无关，意味着什么呢？
z是另一个随机变量，而pz(z)不管是什么形式。z的累积分布函数=r的累积分布函数，也就是说pz(z)是我们事先就规定好的，即z的直方图的形状是提前规定好的。这样通过下面的式子完成了r->s->z。
5.直方图匹配详细介绍：
参考书籍：
【1】：数字图像处理-冈萨雷斯-第三版
【2】：《概率论与数理统计》浙大版（第四版）
