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1. 雷达方程 1.1 基本方程
雷达能够探测到目标的原理是：发射的电磁波通过空间传播到达目标后，会被目标反射，发射的电磁波被雷达再次接收并解析后，就可获得目标的信息。这里面有两个基本物理原理：1）、电磁波在空间中以光速进行传播；2）、电磁波打到物体身上后会被反射。
那么一个雷达到底能够探测多远的目标呢？这个问题的答案就是雷达方程的一种表述形式。雷达方程顾名思义就是一个有这多个变量的等式，等式两边变量（因变量和自变量）形式不一样就对应着不同的雷达方程表述形式。接下来就进行理想状态下的雷达方程推导：
首先发射天线向外辐射的电磁波是按照球形向外辐射的，球面上某点的功率密度为:
这里的Pt表示的是发射机发射的电磁波功率，R表示电磁波传播的距离。可以看出电磁波功率密度与传播距离的平方成反比。当电磁波传播过程中遇到物体时，会被物体反射，由于传播到物体处的电磁波是以功率密度来衡量的，那么被物体反射的电磁波功率是多少呢？肯定是功率密度乘以某个面积来得到物体反射的电磁波功率，这里定义目标的等效反射截面积RCS（注意这里是反射截面积而不是接收截面积，表示求得的功率是被反射回去的功率），反射回去的功率如下所示：
以目标位置为起点电磁波再以球面形式向外进行传播，传播到雷达接收天线端时又传播了距离R，这时的功率密度为：
通过上式可以发现，雷达发射机发射的电磁波经过R后被物体反射然后再传播到接收机处的电磁波功率密度与距离R的四次方成反比。注意到这里还不是功率而是功率密度，也就是说雷达还需要一块能接收电磁不天线把电磁波接收进来，那么这里就又等效接收面积Ae等效接收面积Ae，是指天线在接收信号时所能够接收到的有效信号的面积，则进入接收机的功率为：
这里Pr表示接收机接收到的电磁波功率，注意这里我一直在说电磁波功率没有说雷达里面经常讲的信号功率。
以上是雷达最基本的接收电磁波的功率方程。下面有再对这个方程进行详细展开：
发射功率是指发射机能够对外辐射电磁波的能力，但是雷达真正向外发射电磁波的器件是发射天线，发射天线的作用就是让电磁波在某个角度范围内进行辐射的能量（功率）变大，其余角度范围外辐射的功率或能量变小。通常用发射增益来表征Gt，是指天线沿一些特定方向的辐射强度相对于理想的点源天线的辐射强度的增加量。增益通常以分贝（dB）为单位表示。增益越大，天线在特定方向上的辐射和接收效果越好。
那么引入发射天线增益的雷达方程变成了：
可以看出雷达接收功率增加了Gt倍，明显可以提高接收功率，所以在雷达设计过程中天线的设计对雷达产品功能和性能都有非常大的影响。天线的等效面积（口径），为什么叫等效面积呢，因为天线的实际物理尺寸或者面积是不能直接用于计算雷达接收电磁波的功率的，所以上面提到的都是等效面积，那么等效面积或孔径和什么有关系呢？等效面积的公式如下：
其中namada是电磁波的波长，G为天线的增益，可以看出等效面积正比于波长的平方和增益，那么怎么理解这个公式呢，或者实际工程中有什么指导作用呢？在实际工程中可以看出如果想要设计一个增益为G的天线，如果频率越高即波长越短则天线的等效面积或者口径就会越小也就意味着可以做一个尺寸更小的天线来满足增益要求。反过来讲若由于结构限制约束天线的尺寸只能做的很小，这时候如果仍需要比较高的天线增益，则雷达辐射电磁波的频率就必须非常高（即波长要非常短才行）。那这时候的雷达方程则变成如下方程：
以上是带有天线的雷达接收方程，该方程说明雷达接收机接收到的电磁波功率与目标距离R的四次方成反比；与电磁波波长的平方成正比，同样增益波长越长接收功率越大，但是所需口径也越大；与目标等效反射截面积成正比，即目标等效反射截面积越大则接收功率约到。
1.2 详细方程 1.2.1 接收机灵敏度
那雷达的接收机是如何知道有目标的呢？首先雷达接收机要能够把Pr这么大功率的电磁波给检测出来，这样才能知道有目标。为什么还需要检测这个电磁波呢，按照方程雷达是肯定能够接收到电磁波的？接下来就要详细分析这个问题，同时再进一步细化这个方程。
回答上面的这个问题，要先弄清楚雷达接收机都会接收什么以及雷达接收机自己是个什么德行？
雷达接收机能够接收外部环境存在的所有电磁波，这里包括自己发射的电磁波，其他设备发射电磁波，以及宇宙背景辐射，上述这些雷达接收机都能够接收。可以看出接收机不单单只接收自己的电磁波还接收很多乱七八糟的东西，我们只是想通过分析自己发射的电磁波间接获取目标的相关信息，但是理想很丰满现实很骨感，接收到电磁波是个杂种波，不是我们想要的东西。如果我们想要的电磁波功率最大还好，我们还能找到他。如果不是那就麻烦了，有可能我们就找不到他了。
另外接收机是什么德行？你以为接收机会老老实实的把天线接收到的电磁波原封不动的给你，错了，接收机这个鸟他是有想法的。它觉得你用老子来接收电磁波，那老子就得收点过路费，你想要的电磁波不能那么容易就给你了，所以所有的接收机都会在进入的电磁波上叠加噪声。这下就麻烦了，首先接收的电磁波就是个杂种波，就这样还被接收机收了过路费加了噪声进去。所以想要简简单单就得到我们想要的电磁波就是痴人说梦了。所以这里才有了检测，也就说要在一堆乱七八糟的环境里把咱们想要的信号拎出来（注意这里我就换成了信号，因为电磁波现在已经一堆了，对我有用的才叫信号）。
说了这么一大堆核心就是一个意思，我们要通过接收机（虽然他很尿性）把有用信号从一堆杂七杂八的信号（噪声+其他没有信号）中检出来，这样就证明雷达探测到了目标，同时还能分析目标的位置特性。
那么就要引出一个非常非常重要也很难理解的概念（其实也好理解），就是接收机灵敏度。先说定义：是指能够探测到目标的最小可检测信号功率（Pmin）。首先灵敏度是一个功率值，是某个范围的下限值。为啥叫可检测信号呢？也就是说一个信号达到这个功率就能够被检测出来，如果小于这个功率那就检测不出来。公式如下：
一看这个公式蒙了，英文字母认识，但是都是啥意思呢？不知道。接下来我们就对这个公式进行一个详解。
最小可检测信噪比SNRmin。SNR信噪比，是信号功率与噪声功率的比值，用于量化信号在噪声背景中的可辨识度。其本质是衡量系统或环境中有用信息与干扰杂质的能量对比。最小可检测信噪比也就是说能够检出信号最小信噪比。kT0B,这是个什么鬼玩意！！！！，这是热噪声，我们生活的环境是被各种噪声包裹的，怎么衡量噪声的大小的用的指标就是噪声功率密度。噪声功率密度（Noise Power Density）表示单位带宽内的噪声功率，是衡量系统噪声特性的关键指标，单位为 W/Hz 或 dBm/Hz，那么典型的热噪声功率密度就是N0=kT0，B表示的我们要进行信噪比计算时所统计的噪声带宽，由于热噪声功率密度在某个温度下是个常数，所以乘以带宽就可以得到相应的噪声功率了。所以信噪比是在某个特定带宽下进行计算的。Fn，这个又是什么玩意？呵呵，这个就是我说的接收机的尿性了，接收机他不白干活的，信号在被接收机接收后，会被叠加噪声，那叠加的这些噪声如何来衡量就是通过Fn，也叫噪声系数来衡量。
其定义为：接收机（或器件）的输入信噪比（SNR）与输出信噪比的比值，量化系统内部噪声的附加程度。
这里还有要引入一个概念，你看雷达多复杂一个概念套着一个概念没完没了的，等效噪声温度。等效噪声温度怎么来的因为噪声系数是接收机输入信噪比域输出信噪比之比，信号功率都是一样的，但是噪声功率不一样；接收机输出噪声是输入热噪声再加上接收机本产生的噪声公式就是：
经过化简后：
那么把后面那项中的Nr = kTe,其中Te表示的就是等效噪声温度。
这个有啥用呢？一个接收机由多个低噪放和下变频组成，这里的每个器件都有噪声系数，那么总的噪声系数是多少呢？架设接收机有如下器件组成：
天线->低噪放(增益为G1、噪声系数为F1)->混频器（增益为G2、噪声系数）
首先信号传到最后一级的功率变为：Pout = Pi*G1*G2，那噪声呢？
Nout = (Ni*G1+kTe1)*G2+kTe2
这里当时我就一直不理解为什么Nout要这么计算，其实原因很简单，因为每一级的噪声都是线性叠加上去的而不是噪声放到了F倍，这里只是等效放大了F倍，真实情况是因为器件热噪声叠加到了输入噪声上。
然后再根据公式得到总的噪声系数
通过上述公式可以得到一个结论就是对于接收机而言第一级低噪放的噪声系数决定了整个接收机的噪声系数，因为后面的噪声系数都会除以前一级的增益，会变得比较小。
好了接收机的德行也分析了。L，这个东西我觉得是这个公式里最有用的，只要和理论有偏差的我们都算到损耗里面去，比如各个接头之间的损耗，比如测量抖动带来的误差等等，都可以认为是损耗，总之对于搞不明白的都可以算到这里，但是也把这个值算的太大，算的太大比人会认为你设计的雷达太low了，一般L在3dB左右。
接下来再回到接收机灵敏度这个指标上来，可以看出这个公式就是信噪比乘以接收到的噪声得到的信号功率，然后再除去一定的系统损耗。
那么这个信号功率和雷达方程里面的接收功率之间有什么关系呢？关系就是如果雷达方程右边的值能够等于灵敏度这个值，就说明这个雷达能够检测到RCS一定，距离为R的目标，所以公式就变成了：
同时可以推出雷达最大探测距离方程：
如此完美的公式！！！！！。为了能够在距离R处探测到目标，在雷达界英雄辈出的年代各个侠客和大能们费劲了心机折腾G、B、SNR、L、Pt、F。有即使你虐我千百遍，我待你如初恋的毅力；也有我本将心向明月，奈何明月照沟渠的无奈啊!
1.2.2 信号处理
又一个新的时代到来了，有了信号处理技术后，我们又能够在小信号探测道路上一条道走到黑！就一句话，看你一眼不够就看很多眼，直至把你看清楚！
对于脉冲多普勒雷达为了能够提高目标检测效果，一般采用多个脉冲进行相参积累，在这个过程中信号的功率会增加N（N表示脉冲个数）平方倍（幅度增加N倍，功率增加N平方倍），噪声功率只会增加N倍。所以进行多个脉冲相参积累时，总信噪比会增加N倍，我们称这个为相参积累增益。
相应的对于调频连续波雷达也会进行多个chirp的相参积累，同样的原理信噪比也会增加N倍。
同时为了使得输出信噪比最大，都会对信号进行匹配滤波，匹配滤波处理增益为：
其中B为雷达瞬时工作带宽，τ为脉冲持续时间。
将上述两部分带入雷达方程中，可得到如下公式：
把分子分母的B约去后得到如下公式：
这个就是比较完整的单基地雷达最大作用距离方程。
在实际设计雷达产品时，就可以结合上面的公式开展相关的方案设计，具体需要考虑可以有以下几方面：
为了能够探测远距离目标，最好的方法就是提高发射功率Pt，但是提高发射功率可能会带来雷达产品成本的增加，主要原因是要选用高增益的功率放大器来实现，这个会比较贵。同时提高了发射功率会增加被其他频率侦测设备发现的概率。提高天线的增益也可增加雷达的探测距离，但是有的时候单个天线阵子的增益已经无法提高，这时候就采用多阵元的方式，比如相控阵天线来实现高增益。雷达工作频率，通过上式可以看出在同等天线增益条件下，工作频率越高雷达探测距离会越近，如果想要加大探测距离则需要降低工作频率。但是这里有个隐藏的内容，工作频率越低需要要达到相同的天线增益天线的口径就会越大，在雷达产品尺寸有要求时，可以选择高工作频率。同时也可以增加相参积累时间和脉冲持续时间来增加探测距离，这个两个属于信号处理增益相关的，在可以不改变硬件架构的基础上进行调整达到最优的或者最合适的状态，为什么叫最合适的呢？因为增加相参积累时间和脉冲持续时间会带来其他难以解决的问题，所以这个在于权衡利弊，选择最合适的值。还有就是降低接收机的噪声系数，可以大幅提高雷达的探测距离，如何提供高接收机噪声系数呢，通过上面的分析可以看出，核心还是要提高第一级射频端低噪放的噪声系数，一般控制在5dB左右。
当然一个雷达的设计不单单要考虑上面这些内容还要考虑其他的内容，后续我们会继续进行分析。
2.雷达测距、测速、测角原理及相关指标分析 2.1雷达测距原理
雷达是通过测量发射出去的电磁波，被接收机接到的延时时间来测量距离的。电磁波在空间以光速传播，雷达发射电磁波后开始计时，当时电磁波被距离R处的目标反射并被接收机接收到时，时间过去了τ。那么就说电磁波传播的距离r = τ*c。由于电磁波进行了一来一回的传播所以雷达与目标间的距离R = r/2。
雷达用来测量目标的距离公式为：
其中τ为雷达从发射信号到接收到信号的延时时间。
那么实际在雷达中是如何进行距离测量的呢？也就是说如何得到这个延时τ的呢？其实有很多方法来得到这个延时：
首先可以通过发射一个固定频率的脉冲信号，接收机就通过判断什么时间接收到了和发射的脉冲信号一致的信号，则把这个时间作为延时τ来进行计算。这里核心的问题：1）、如何从接收的信号中找出与发射信号一样的信号；2）及时找到了这个信号，那么如何确保时间延时τ的准确性？这里会面临非常复杂的情况，比如很多目标都会反射发射信号，这些反射信号有可能叠加在一起（目标之间距离相差不大时），那么就会无法准确获取延时τ，甚至面临不能把这个两个目标从距离上区分开的问题。解决上面这个问题最直接的办法就是让脉冲信号的持续时间尽可能的短，短到任何两个目标反射的信号都不会叠加在一起，这样就可以准确的确认τ了。但是通过上面分析的雷达方程如何脉冲持续的时间太短，是会降低雷达探测距离的。所以这个方法可以用但是还是要综合评估，不能一味的减小脉冲的时间。那还有其他办法吗？从人类最直观的印象中来讲，特征比较大的物体是容易区分或者说容易辨识的，那么对于雷达来讲同样的道理，我们需要让接收回来的信号辨识度更高这样才能够更容易区分他，怎么做呢？不再发送一个固定频率的信号，而是发送一个进行频率调制的信号，即一个线性调频信号。由于这个信号信号特征更丰富所以接收机可更好通过它来确定时间τ。 2.1.1雷达距离分辨率
雷达距离分辨率是指雷达在距离维度能够区分两个目标的最小距离，当两个目标在距离上大于这个分辨率是雷达是能够将这两个目标区分开的，但是当着两个物体之间的距离小于距离分辨率时雷达是无法区分这两个目标的。
雷达距离分辨率公式如下：
其中，B表示雷达瞬时工作带宽，c为电磁波传播速度。
其推导如下：
时延分辨率（Time Delay Resolution）是衡量系统区分两个相邻目标能力的关键指标。其核心理论依据为模糊函数（Ambiguity Function），通过分析模糊函数的时延维度特性，可严格推导出时延分辨率的数学表达式及物理意义。
模糊函数描述信号在时延（τ）和多普勒频移（f）上的联合分辨能力，定义为：
固定多普勒频移（f=0）：模糊函数退化为信号的自相关函数：
此时，模糊函数仅反映时延维度的分辨能力。
时延分辨率 Δτ 定义为自相关函数 ∣R(τ)∣2 主瓣的3dB宽度（半功率点间隔），即：
Δτ=τ3dB=主瓣宽度
主瓣越窄，时延分辨率越高，系统区分相邻目标的能力越强。
矩形脉冲信号，信号形式：
自相关函数：
线性调频（LFM）信号，信号形式：
自相关函数:
2.1.2雷达距离精度
测距精度指雷达对同一目标多次测量结果的标准差。雷达测距精度受限于信号带宽B与信噪比（SNR）：
2.2雷达测速原理
雷达测速原理基于多普勒效应（Doppler Effect），通过测量电磁波反射信号的频率变化来推算目标物体的运动速度：
速度公式如下：
2.2.1雷达速度分辨率
速度分辨率（Velocity Resolution）指雷达能够区分两个相邻目标的最小速度差，记为 Δvmin。若两目标速度差小于此值，雷达将无法分辨其为独立目标。雷达通过傅里叶变换（FFT）将时域信号转换为频域，频率分辨率为：
其中 T 为信号积累时间（相干处理时间）。将频率分辨率转换为速度分辨率：
2.2.1雷达测速精度
2.3 雷达测角原理
比幅单脉冲：利用两个重叠波束的幅度比计算角度（公式）：
相位测角法：利用多个天线接收信号的相位差解算角度。
对于间距为 d 的两天线，目标角度 θ 满足：
通过测量相位差 Δϕ 反推 θ。
2.3.1雷达测角分辨率
瑞利准则（Rayleigh Criterion）两个点目标可分辨的条件是其角度间隔大于半功率波束宽度（HPBW）的1/2，波束宽度公式：
λ: 雷达波长；
D: 天线有效孔径；
K: 算法增益系数（如FFT处理K=1，MUSIC算法K≈3）
SNR: 信噪比（典型值20 dB时分辨率提升10倍）
