人教版初中数学《勾股定理》教学设计人教版初中数学《勾股定理》教学设计人教版初中数学《勾股定理》教学设计

勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关

系。由勾股定理及其逆定理，能够把直角三角形中“形”的特征转化为“数”的关系，因系。由勾股定理及其逆定理，能够把直角三角形中“形”的特征转化为“数”的关系，因系。由勾股定理及其逆定理，能够把直角三角形中“形”的特征转化为“数”的关系，因

此它可以解决直角三角形中的许多计算问题。勾股定理不仅体现出完美的“形数统一”思此它可以解决直角三角形中的许多计算问题。勾股定理不仅体现出完美的“形数统一”思此它可以解决直角三角形中的许多计算问题。勾股定理不仅体现出完美的“形数统一”思

想，更因为其超过四百多种的证明方法，使其成为数学上最引人注目的定理之一。想，更因为其超过四百多种的证明方法，使其成为数学上最引人注目的定理之一。想，更因为其超过四百多种的证明方法，使其成为数学上最引人注目的定理之一。

对学生来说，对学生来说，对学生来说，用面积的用面积的用面积的“割补”“割补”“割补”证明一个定理应该是比较陌生的，证明一个定理应该是比较陌生的，证明一个定理应该是比较陌生的，尤其觉得不像证明，尤其觉得不像证明，尤其觉得不像证明，

因此，勾股定理的证明是一个难点。但是，初二学生经过一年的几何学习，已具有初步的因此，勾股定理的证明是一个难点。但是，初二学生经过一年的几何学习，已具有初步的因此，勾股定理的证明是一个难点。但是，初二学生经过一年的几何学习，已具有初步的

观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解。因此，教师要创设一种便观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解。因此，教师要创设一种便观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解。因此，教师要创设一种便

于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情。于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情。于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情。

【【【】】】

111、、、了解勾股定理的证明，了解勾股定理的证明，了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，掌握勾股定理的内容，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行简单的计算和证明；初步会用它进行简单的计算和证明；初步会用它进行简单的计算和证明；

222、通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力；、通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力；、通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力；

333、、、对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。对学生进行爱国主义教育。对学生进行爱国主义教育。

【【【】】】

111、重点是勾股定理的应用；、重点是勾股定理的应用；、重点是勾股定理的应用；

222、难点是勾股定理的证明及应用。、难点是勾股定理的证明及应用。、难点是勾股定理的证明及应用。

【【【】】】

新课。新课。新课。

【【【】】】

多媒体课件（演示文稿和几何画板）多媒体课件（演示文稿和几何画板）多媒体课件（演示文稿和几何画板）。。。

【【【】】】

讲授法、讨论法。讲授法、讨论法。讲授法、讨论法。

【【【】】】

111、导入：、导入：、导入：

师：同学们知道勾股定理吗？师：同学们知道勾股定理吗？师：同学们知道勾股定理吗？

生：勾股定理？地球人都知道！生：勾股定理？地球人都知道！生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）（众笑）（众笑）

师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道。大家知道世界上许多科学家都在探师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道。大家知道世界上许多科学家都在探师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道。大家知道世界上许多科学家都在探

寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等。我国数寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等。我国数寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等。我国数

学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定

会认识这种“语言”的。会认识这种“语言”的。会认识这种“语言”的。（投影显示勾股图）（投影显示勾股图）（投影显示勾股图）

勾股定理勾股定理勾股定理

师：师：师：下面，下面，下面，让我漫步走进勾股定理的世界，让我漫步走进勾股定理的世界，让我漫步走进勾股定理的世界，一起来认识这种大自然共同的一起来认识这种大自然共同的一起来认识这种大自然共同的“语言”“语言”“语言”吧。吧。吧。

222、勾股定理简介：、勾股定理简介：、勾股定理简介：

在中国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”在中国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”在中国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，较长的直角边称为“股”，较长的直角边称为“股”，斜边，斜边，斜边

称为“弦”称为“弦”称为“弦”。据《周髀算经》记载：约公元。据《周髀算经》记载：约公元。据《周髀算经》记载：约公元111千多年前，有个叫商高的人对周公说：千多年前，有个叫商高的人对周公说：千多年前，有个叫商高的人对周公说：“把一“把一“把一

根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是333，股是，股是，股是444，则弦一定是，则弦一定是，则弦一定是555，，，

即即即

222222222

555444333===+++”””

人们还发现，在直角三角形中，勾是人们还发现，在直角三角形中，勾是人们还发现，在直角三角形中，勾是666，股是，股是，股是888，则弦一定是，则弦一定是，则弦一定是101010，即，即，即

222222222

101010888666===+++；；；

勾是勾是勾是555，股是，股是，股是121212，则弦一定是，则弦一定是，则弦一定是131313，即，即，即

22 2 22 2 22 2

13 13 13 12 12 12 55 5 == = ++ + 。。 。

所有的直角三角形都有这样的性质吗？世界上许多数学家， 所有的直角三角形都有这样的性质吗？世界上许多数学家， 所有的直角三角形都有这样的性质吗？世界上许多数学家，先后用 先后用 先后用400 400 400 多种方法证明 多种方法证明 多种方法证明

了这一定理，我国称之为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理。 了这一定理，我国称之为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理。 了这一定理，我国称之为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理。

定理是这样的： 定理是这样的： 定理是这样的：

直角三角形中两直角边 直角三角形中两直角边 直角三角形中两直角边aa a，， ，bb b 的平方和等于斜边的平方，即 的平方和等于斜边的平方，即 的平方和等于斜边的平方，即

22 2 22 2 22 2

cc c bb b aa a == = ++ +

勾股定理的证明不同于前面所学的任何一个定理的证明，主要是用拼图的方法证明 勾股定理的证明不同于前面所学的任何一个定理的证明，主要是用拼图的方法证明 勾股定理的证明不同于前面所学的任何一个定理的证明，主要是用拼图的方法证明

的，下面给大家介绍三种拼图，每一种拼图代表一种证法，你能分别给予证明吗？ 的，下面给大家介绍三种拼图，每一种拼图代表一种证法，你能分别给予证明吗？ 的，下面给大家介绍三种拼图，每一种拼图代表一种证法，你能分别给予证明吗？

33 3、勾股定理的证明 、勾股定理的证明 、勾股定理的证明

aa a

bb b cc c

aa a

cc c

aa a bb b

cc c

cc c

aa a

cc c

aa a

aa a

cc c

cc c

aa a

出示勾股定理拼图 出示勾股定理拼图 出示勾股定理拼图（如上图） （如上图） （如上图），， ，学生四人一组展开讨论。 学生四人一组展开讨论。 学生四人一组展开讨论。约约 约55 5－－ －66 6 分钟后学生举手发言， 分钟后学生举手发言， 分钟后学生举手发言，

叙述不同的证法。 叙述不同的证法。 叙述不同的证法。

证法一 证法一 证法一

aa a

bb b cc c

aa a

cc c

aa a bb b

cc c

cc c

aa a

证法二 证法二 证法二

cc c

aa a

证法三 证法三 证法三

aa a

cc c

cc c

aa a

证法三也叫“总统证法” 证法三也叫“总统证法” 证法三也叫“总统证法”，讲述美国第 ，讲述美国第 ，讲述美国第20 20 20 届总统加菲尔德发现勾股定理的故事。此时 届总统加菲尔德发现勾股定理的故事。此时 届总统加菲尔德发现勾股定理的故事。此时

竟有学生发现两个证法三的图形拼在一起即为证法一的图形， 竟有学生发现两个证法三的图形拼在一起即为证法一的图形， 竟有学生发现两个证法三的图形拼在一起即为证法一的图形，观察力之敏锐， 观察力之敏锐， 观察力之敏锐，实在出乎意 实在出乎意 实在出乎意

料。 料。 料。

22 2 22 2 22 2

22 2 22 2

cc c bb b aa a

cc c 44 4 ab ab ab

22 2

11 1

)) ) bb b aa a (( (

== = ++ +

++ + ×× × == = ++ +

化简得： 化简得： 化简得：

22 2 22 2 22 2

22 2 22 2

cc c bb b aa a

cc c

22 2

11 1 22 2 ab ab ab

22 2

11 1 b) b) b) (a (a (a

22 2

11 1

== = ++ +

++ + ×× × == = ++ +

化简得： 化简得： 化简得：

22 2 22 2 22 2

22 2 22 2

cc c bb b aa a

cc c 44 4 ab ab ab

22 2

11 1

)) ) bb b aa a (( (

== = ++ +

== = ×× × ++ + -- -

化简得： 化简得： 化简得：

证法四 证法四 证法四

《几何原本》的证明 《几何原本》的证明 《几何原本》的证明

HH H

GG G

FF F

EE E

DD D

CC C

BB B AA A

下面我们先看一看勾股定理的应用。 下面我们先看一看勾股定理的应用。 下面我们先看一看勾股定理的应用。

44 4、勾股定理的应用 、勾股定理的应用 、勾股定理的应用

学生叙述勾股定理的简单应用：已知直角三角形两边，求第三边。教师给出勾股定理 学生叙述勾股定理的简单应用：已知直角三角形两边，求第三边。教师给出勾股定理 学生叙述勾股定理的简单应用：已知直角三角形两边，求第三边。教师给出勾股定理

的变式： 的变式： 的变式：

22 2 22 2 22 2

aa a cc c bb b -- - == = ，， ，

22 2 22 2 22 2

bb b cc c aa a -- - == = ，， ，

22 2 22 2

bb b aa a cc c ++ + == = ，， ，

22 2 22 2

aa a cc c bb b -- - == = ，， ，

22 2 22 2

bb b cc c aa a -- - == =

例例 例11 1、、 、Rt Rt Rt

DD D

ABC ABC ABC 中， 中， 中，ÐÐ ÐC=90 C=90 C=90°° °

（（ （11 1）） ）aa a＝＝ ＝66 6，， ，bb b＝＝ ＝88 8，求 ，求 ，求c  c  c

（（ （22 2）） ）aa a＝＝ ＝40 40 40，， ，cc c＝＝ ＝41 41 41，求 ，求 ，求b  b  b

解：在 解：在 解：在Rt Rt Rt ABC ABC ABC 中，根据勾股定理 中，根据勾股定理 中，根据勾股定理

（（ （11 1）） ） 10 10 10 88 8 66 6 bb b aa a cc c

22 2 22 2 22 2 22 2

== = ++ + == = ++ + == =

（（ （22 2）） ） 99 9 40 40 40 41 41 41 aa a cc c bb b

22 2 22 2 22 2 22 2

== = -- - == = -- - == =

例例 例22 2、、 、Rt Rt Rt

DD D

ABC ABC ABC 中， 中， 中，ÐÐ ÐC=90 C=90 C=90°° °,, ,∠∠ ∠B=30 B=30 B=30°，求 °，求 °，求AB AB AB、、 、BC BC BC 的长 的长 的长

解：∵∠ 解：∵∠ 解：∵∠CC C＝＝ ＝90 90 90°，∠ °，∠ °，∠BB B＝＝ ＝30 30 30°， °， °，AC AC AC＝＝ ＝6cm  6cm  6cm

∴∴ ∴AB=2AC=12cm  AB=2AC=12cm  AB=2AC=12cm

（直角三角形中 （直角三角形中 （直角三角形中30 30 30°角所对的边等于斜边的一半） °角所对的边等于斜边的一半） °角所对的边等于斜边的一半）

在在 在Rt Rt Rt ABC ABC ABC 中，根据勾股定理 中，根据勾股定理 中，根据勾股定理

BC BC BC＝＝ ＝ 33 3 66 6 66 6 12 12 12 AC AC AC AB AB AB

22 2 22 2 22 2 22 2

== = -- - == = -- -

勾股定理的证明我们给大家准备了四种证法，最后一种证法也就是最经典的一种证 勾股定理的证明我们给大家准备了四种证法，最后一种证法也就是最经典的一种证 勾股定理的证明我们给大家准备了四种证法，最后一种证法也就是最经典的一种证

法，我们把它放在最后，这正应了西方的一句谚语： 法，我们把它放在最后，这正应了西方的一句谚语： 法，我们把它放在最后，这正应了西方的一句谚语：The last is the best. The last is the best. The last is the best. （最后的也就是最 （最后的也就是最 （最后的也就是最

好的。 好的。 好的。）） ）

55 5、、 、《几何原本》中勾股定理的证明 《几何原本》中勾股定理的证明 《几何原本》中勾股定理的证明

22 22 22 22 22 22

22 22

BHGP BHGP BHGP BHGP

22 22

AFGP AFGP AFGP AFGP ACED ACED ACED ACED

ACF ACF ACF ACF AFGP AFGP AFGP AFGP

ADB ADB ADB ADB ACED ACED ACED ACED

cc cc bb bb aa aa

bb bb SS SS

aa aa SS SS SS SS

2S 2S 2S 2S SS SS

2S 2S 2S 2S SS SS

AC AC AC ACFF FF ADE ADE ADE ADE

CC CCFF FF BD BD BD BD FH FH FH FH CC CCGG GG

66 6、用几何画板演示奇异的勾股树，激发学生的兴趣 、用几何画板演示奇异的勾股树，激发学生的兴趣 、用几何画板演示奇异的勾股树，激发学生的兴趣

勾勾 勾

股股 股

树树 树

动画 动画 动画

P' P' P'

77 7、小结：勾股定理及其证明和应用 、小结：勾股定理及其证明和应用 、小结：勾股定理及其证明和应用

【【 【 】】 】

勾股定理是数学史上最重要的定理之一， 勾股定理是数学史上最重要的定理之一， 勾股定理是数学史上最重要的定理之一，我觉得不仅要让学生知道勾股定理， 我觉得不仅要让学生知道勾股定理， 我觉得不仅要让学生知道勾股定理，会用勾 会用勾 会用勾

股定理，还很有必要让学生了解这一伟大定理的简要证明。这对学生来说，不仅是学习一 股定理，还很有必要让学生了解这一伟大定理的简要证明。这对学生来说，不仅是学习一 股定理，还很有必要让学生了解这一伟大定理的简要证明。这对学生来说，不仅是学习一

点简单的数学知识， 点简单的数学知识， 点简单的数学知识，更是对心灵的一种震撼。 更是对心灵的一种震撼。 更是对心灵的一种震撼。我想， 我想， 我想，数学不能只教一些死的、 数学不能只教一些死的、 数学不能只教一些死的、刻板的知识， 刻板的知识， 刻板的知识，

更要让学生去体验、发现数学的美。 更要让学生去体验、发现数学的美。 更要让学生去体验、发现数学的美。

【【 【 】】 】