初等数学是指古典文明时期发展成型的数学，大约始于公元前5世纪左右，终于17世纪末牛顿和莱布尼茨创立微积分，所以是300多年前的数学。它是我们从小学直到高中所学的数学，也就是人人必学的数学。反之，高等数学——近3百年所发展的数学，也许有些人一辈子也没有接触过。“如果将17世纪以前所知道的数学称为初等数学，那么应该说，初等数学与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微积分开始的，而不是以其为结束” （克莱因：《西方文化中的数学》，P19）。也就是说，初等数学只是常人的生活数学。如果阅读科学，初等数学肯定是不够的。但无论如何，初等数学是基础。
按照传统分法，初等数学分为三部分：算术——研究整数和分数及其运算；代数——使用抽象符号表示数学对象，如代数式、方程和函数，并研究这些符号的运算及其规则；几何——研究空间图形，点、直线、曲线，以及图形的内在规律。
数学的起步当然是计数，“随着货物交换的发展，人们要计算羊只的数量，……如何有效地写出数字是一直困扰人类的问题”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P76）。计数需要符号，更需要进位观念。进位观念有实践基础，如5个手指意味着一只手。难点是如何统一进位，并将其简明表达。“我们目前书写数字的方法被称为阿拉伯计数系统。这个计数系统在公元前600年前的某个时候由印度人发明，并且经过几个世纪的完善，在7世纪和8世纪伊斯兰势力扩张到印度时被阿拉伯人学会并应用。然后，欧洲人也从阿拉伯人那里学会了这个系统。（并最终推广到全世界）。这个系统的特点是使用位值制，以10的幂为基础。它的基本符号——0，1，2，3，4，5，6，7，8，9——被称为“阿拉伯数字”，表示从零到九的数字”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P81）。
由此我们知道，我们学的算术并非“唯一”的数学，只是一种流传较广、使用较便的“约定俗成”。这样我们就可以接受另一种为计算机服务的数学——二进制；我们也可以理解日常生活中仍能见到的数字（如罗马数字）和进位制（如时钟的六十进位）也都是一种数学。
计数之后是运算。运算观念是普世的，1加1总是等于2。但运算也有如何简便清晰表示的难题。“算术符号在文艺复兴初期就以书面形式出现，但无论人与人之间，还是国家与国家之间，符号几乎都是不一致的。随着15世纪活字印刷术的发明，印刷书籍开始显示出更多的一致性。然而，还是经过了漫长时间后，我们今天使用的符号才成为书面算术的共同组成部分”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P85）。
比形式统一更重要的是运算促进了两个数学观念的深化：数字观念的拓广与运算意义的抽象。
先说前者，最早的计数当然只是“正整数”，也称之为自然数，非常“自然而然”的数。自然数的加法都没有问题，但如果用一个大的自然数去减小的自然数，运算就出了问题。解决方案之一是否决这样的运算，即认为这样的运算不可进行。另一方案就是拓广数字观念，于是零、负数、分数、无理数，甚至虚数都来了。这些新型数字的接受，首先使得运算范围越来越广，我们可以无障碍的进行任何数字的加减乘除四则运算，还可以延伸出乘方与开方。
但更重要的是展示出数学更大的功能：自然有着比看起来更深的模式结构，而数学恰恰能够帮助人类揭示和理解这种模式。“1”表示一个苹果，“四分之三”可以表示一个苹果被分为四份后，你获得其中三份，这完全类同于“半个”苹果，也就是“二分之一”。但根号2是什么意思？是否仅仅是一种运算的结果而已？不是，那正好是边长为1的正方形中那条对角线的长度。而神奇的π，就是圆周的长度除以直径。我们原本以为数学不过是对实践的一种归纳，但现在发现数学有时会独自先行一步，在前方等着某种自然结构的最终显现。
再说运算意义的抽象。原初的运算意义非常直白，加就是合并，你的5只羊并上我的3只羊，当然就是8只羊。乘就是简化的连加，5乘上3就是3个5只羊，当然就是15只羊。随着数字观念的拓广，运算的意义越来越失去原先的直白，变得难以理解。小数减去大数，意味着什么？负数减去负数呢？整数乘上分数呢？分数乘上分数呢？负数乘上负数呢？它为什么会变成正数？
对这些问题的回答，可以有两种立场。一是放弃对意义的追问，将运算完全理解为一种规则，你依规则进行就可以了。这是我们经常被告知的一种“数学”——数学就是一种逻辑规则体系；二是保持意义的追问，你再次发现，数学虽然有时会先行一步，但它还真能同构着某种自然结构。也就是说， 某种看似“不可理喻”的运算，却恰恰能揭示出自然的某种特殊结构。只是我们有时暂时还不理解，或者过于复杂，缺乏高深数学基础的常人一下子难以理解。
中译词“代数”可以字面理解为“以字母来替代数字”，数学从小数的算术（以数字为对象）升级到初中的代数（以字母为对象），数学算式（3+5=8）变为代数式（a+b=c）。数字的符号化是数学思维的一次大提升，“好的数学符号的作用远不止是高效的速记。理想情况下，它应该是一种通用的语言，能够澄清思想、揭示模式，并提出概括。……我们今天的代数符号接近这样的理想状态，但它的发展是漫长而缓慢的，有时还会倒退”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P132-133）。
代数给数学思维带来的第二个提升是：我们必须学会理解一种介于“变与不变”之间的东西。代数式中的字母表示一种不确定的固定量，用数学语言表述是“会变的常量而非变量”。“变”是指它可以代表任何给定范围的数，如任何整数等。但它又是不变的，代数式可以像算式一样运算，在运算过程中，字母被视为是如同一个具体数字一样的常量，而非函数中的变量或方程中的未知量。举例说明，像“-a”表示一个不变的常量，但它不一定是负数，因为a自身可能是负的；b/a就是一条除法算式，但需要马上限定“a≠0”，否则这条算式可能会变得无意义。
传统代数的核心内容是方程。从历史视角看，代数也是从方程起步发展而来。“当我们把数学应用到现实世界时，就会自然出现解一次方程式的问题。因此，毫无奇怪，几乎每个学习数学的人，从埃及的抄写员到中国的文职人员，都在寻找解决这些问题的方法”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P140）。
方程很能体现数学“实用”的一面，小到各种应用题，大到相对论，都可表示为数学方程。方程也充分显示数学作为工具的“厉害”，一旦掌握了二元一次方式组，鸡兔同笼这样的传统难题就全无难度可言。但方程最能体现数学的两种特性：合乎逻辑的拓展与深层次的统一。
最简单的方程是一元一次方程，“元”是指未知数的个数，次是指未知数的次数。基于此，合乎逻辑的拓展就开始了。以“个数”来拓展，就有二元一次方程、三元一次方程，以致n元一次方程。以“次数”拓展，就有一元二次方程、一元三次方程，以致一元n次方程。两者结合，构建出多项式方程的整个家族：二元二次方程，五元三次方程，以致n元n次方程。
有了整个家族，我们可以从中识别出若干关键小分支，如所有一次方程都具有一种“线性”特性——现实世界一种普遍而重要的模式。于是，线性方程的数学研究就成为解决这类实践问题的锐器。““线性”和“非线性”问题之间的区别今天仍然很有用。我们不仅把它应用于方程，而且把它应用到许多其他的问题上”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P144）。代数也就从初等代数发展成为高等代数，即以行列式与矩阵为核心内容的代数。
方程的根本问题是求解，解方程如同玩魔方，你可以凭小聪明或经验得到一次性的结果，每一次都得从头再来。但数学所追求的是一种“深层次”的统一，即普适的求根公式。最能体现数学这一品性的是一元高次方程的解法发展史。先是数学家韦达给出了一元二次方程的求根公式，然后是16-17世纪欧洲对于更高次方程解法的“军备竞赛”（参见柏林霍夫：这才是好读的数学史，下篇第11章）。最终卡尔达诺在1545年“找到所有三次方程的完整解法。他的助手罗多维科-法拉利将相同的观点应用于一般四次方程，并设法找到了解法。下一个目标是五次方程。事后证明，这要困难得多。事实上，找到解一般五次方程的公式是不可能的。这一事实促使代数学家开始提出更深层次的问题。慢慢地，关于多项式及其根的理论逐渐发展起来”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P155，157，48）。
初等数学的第三大领域是几何。上篇已述，从历史视角而言，几何早于代数，是古希腊人的特产与珍宝，宝中之瑰宝自然是欧几里得的《几何原本》，“该书分为13卷，总共包含了465个“命题”（现在我们可以称之为定理），每个定理都由前面的陈述所证明。（所有证明都基于一个）简单的开始——23个定义、5个常见概念和5个假设欧几里得重建了整个平面几何理论。他的著作是如此全面和清晰，以至于从他那个时代起，《几何原本》就成为了研究平面几何的被普遍接受的资料源头。即使是今天高中（初中）学习的几何学，也基本上是欧几里得《几何原本》改编的”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P179,181）。
“《几何原本》不仅仅是关于形和数的讨论，更是教人们如何思考！教你如何运用逻辑思考任何事情——如何一步一步建立一个复杂的理论，每一个新的事物都牢牢地与已经建立起来的事物紧密相连。两千多年来，欧几里得平面几何塑造了西方思想。事实上，如果你没有懂得欣赏欧几里得，就无法真正理解许多在政治、文学和哲学方面最有影响力的著作”（柏林霍夫：这才是好读的数学史，P181）。
“高中的”初等数学（解析几何、立体几何、函数理论等）已经基本脱离常人的数学（日常应用的数学），它实际上是高等数学（科技应用的数学）的预科。所以在有些西方国家，高中数学不再是必修课，而是考虑到未来大学专业选择的分为不同等级的选修课。
